Phương trình lôgarit: điều kiện xác định, cách giải, đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ và bài tập có đáp án
Phương trình lôgarit là phương trình có ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Phương trình cơ bản logₐ x = b, dạng logₐ f(x) = logₐ g(x), điều kiện xác định, đặt ẩn phụ, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Phương trình lôgarit là gì?
Phương trình lôgarit là phương trình chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Phương trình cơ bản $\log_a x = b$ ($a > 0$, $a \neq 1$) luôn có nghiệm duy nhất $x = a^b$. Khi giải mọi phương trình lôgarit đều phải đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu lôgarit dương.
Các dạng cơ bản
Ví dụ 1
$\log_2(x + 1) = 3$: điều kiện $x > -1$; $x + 1 = 8 \Rightarrow x = 7$ (thỏa).
Ví dụ 2
$\log_3(x - 1) = \log_3(2x - 5)$: điều kiện $x > \dfrac{5}{2}$; $x - 1 = 2x - 5 \Rightarrow x = 4$ (thỏa). Tập nghiệm $\{4\}$.
Tổng các lôgarit cùng cơ số
Ví dụ 3
$\log_2 x + \log_2(x - 1) = 1$. Điều kiện $x > 1$.
$\log_2[x(x - 1)] = 1 \Rightarrow x(x - 1) = 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ hoặc $x = -1$.
Đối chiếu điều kiện: nhận $x = 2$, loại $x = -1$.
Gộp lôgarit làm thay đổi điều kiện nên phải đặt điều kiện từ đầu.
Đặt ẩn phụ
Ví dụ 4
$\log_2^2 x - 3\log_2 x + 2 = 0$. Điều kiện $x > 0$. Đặt $t = \log_2 x$: $t^2 - 3t + 2 = 0 \Rightarrow t = 1$ hoặc $t = 2$.
$x = 2$ hoặc $x = 4$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Giải $\log_5(2x - 1) = 2$.
- Giải $\log_2(x + 3) = \log_2(2x - 1)$.
- Giải $\log_3 x + \log_3(x + 2) = 1$.
- Giải $\lg^2 x - 3\lg x + 2 = 0$.
- Giải $\log_2(x^2 - 3x) = 2$.
Đáp án
- $2x - 1 = 25 \Rightarrow x = 13$.
- Điều kiện $x > \dfrac{1}{2}$; $x + 3 = 2x - 1 \Rightarrow x = 4$.
- Điều kiện $x > 0$; $x(x + 2) = 3 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$ (loại $-3$).
- $t = \lg x$: $t = 1$ hoặc $2$; $x = 10$ hoặc $x = 100$.
- Điều kiện $x^2 - 3x > 0$; $x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x = 4$ hoặc $x = -1$; cả hai thỏa điều kiện.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Bất phương trình mũ
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Phương trình lôgarit là gì?
Là phương trình có ẩn ở biểu thức dưới dấu lôgarit.
Nghiệm của $\log_a x = b$?
$x = a^b$.
Điều kiện khi giải phương trình lôgarit?
Mọi biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương.
Vì sao cần thử lại nghiệm?
Vì biến đổi có thể sinh nghiệm không thỏa điều kiện.