Bất phương trình mũ: cách giải theo cơ số, đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ và bài tập có đáp án Toán 11

Bất phương trình mũ là bất phương trình có ẩn ở số mũ. Với cơ số lớn hơn 1, aᶠ > aᵍ tương đương f > g; với cơ số trong khoảng (0; 1) thì đổi chiều. Cách đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

$Bất phương trình mũ: cách giải theo cơ số, đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ và bài tập có đáp án Toán 11$

Bất phương trình mũ là gì?

Bất phương trình mũ là bất phương trình có ẩn ở số mũ. Cách giải dựa vào tính đơn điệu của hàm số mũ: với $a > 1$ thì $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) > g(x)$; với $0 < a < 1$ thì $a^{f(x)} > a^{g(x)} \Leftrightarrow f(x) < g(x)$ (đổi chiều).

Quy tắc theo cơ số

Cơ số	$a^{f(x)} > a^{g(x)}$ tương đương	$a^{f(x)} \leq a^{g(x)}$ tương đương
$a > 1$	$f(x) > g(x)$	$f(x) \leq g(x)$
$0 < a < 1$	$f(x) < g(x)$	$f(x) \geq g(x)$

Xem bài: Phương trình lôgarit

Ví dụ

Ví dụ 1

$2^x > 8 \Leftrightarrow 2^x > 2^3 \Leftrightarrow x > 3$ (cơ số $2 > 1$).

Ví dụ 2

$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \geq 9 \Leftrightarrow \left(\dfrac{1}{3}\right)^x \geq \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-2} \Leftrightarrow x \leq -2$ (cơ số $< 1$ nên đổi chiều).

Ví dụ 3

$2^{x^2 - 3x} < 16 \Leftrightarrow x^2 - 3x < 4 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 < 0 \Leftrightarrow -1 < x < 4$.

Đặt ẩn phụ

Ví dụ 4

$4^x - 3 \cdot 2^x + 2 < 0$. Đặt $t = 2^x > 0$: $t^2 - 3t + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < t < 2$.
$1 < 2^x < 2 \Leftrightarrow 0 < x < 1$.

Nhớ điều kiện $t > 0$ và đổi ngược về $x$.

Xem bài: Bất phương trình lôgarit

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Giải $3^x < 81$.
Giải $\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > 4$.
Giải $2^{x^2 - 2x} \geq 8$.
Giải $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 \leq 0$.
Giải $5^{2x - 1} > 5^{x + 3}$.

Đáp án

$x < 4$.
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^x > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2} \Leftrightarrow x < -2$.
$x^2 - 2x \geq 3 \Leftrightarrow x \leq -1$ hoặc $x \geq 3$.
$t = 3^x$: $t^2 - 4t + 3 \leq 0 \Leftrightarrow 1 \leq t \leq 3$; $0 \leq x \leq 1$.
$2x - 1 > x + 3 \Leftrightarrow x > 4$.