Bất phương trình lôgarit: điều kiện, cách giải theo cơ số, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11

Q: Bất phương trình lôgarit giải thế nào?

Đặt điều kiện, đưa về cùng cơ số rồi so sánh theo cơ số.

Q: Khi nào đổi chiều?

Khi cơ số nằm trong $(0; 1)$.

Q: Điều kiện xác định là gì?

Mọi biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương.

Q: Vì sao phải giao nghiệm với điều kiện?

Vì nghiệm phải thỏa cả điều kiện xác định.

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Với cơ số lớn hơn 1, logₐ f > logₐ g tương đương f > g > 0; với cơ số trong (0; 1) thì đổi chiều. Điều kiện xác định, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án.

$Bất phương trình lôgarit: điều kiện, cách giải theo cơ số, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11$

Bất phương trình lôgarit là gì?

Bất phương trình lôgarit là bất phương trình chứa ẩn trong biểu thức dưới dấu lôgarit. Khi giải phải đặt điều kiện biểu thức dưới dấu lôgarit dương, rồi so sánh dựa vào tính đơn điệu: hàm lôgarit đồng biến khi $a > 1$ và nghịch biến khi $0 < a < 1$.

Quy tắc theo cơ số

Cơ số	$\log_a f(x) > \log_a g(x)$ tương đương
$a > 1$	$f(x) > g(x) > 0$
$0 < a < 1$	$0 < f(x) < g(x)$

Xem bài: Bất phương trình mũ

Ví dụ

Ví dụ 1

$\log_2(x - 1) > 3$: điều kiện $x > 1$; $x - 1 > 8 \Leftrightarrow x > 9$. Nghiệm $x > 9$.

Ví dụ 2

$\log_{\frac{1}{2}}(x + 1) \geq -1$: điều kiện $x > -1$; cơ số $< 1$ nên $x + 1 \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1} = 2 \Leftrightarrow x \leq 1$. Nghiệm $-1 < x \leq 1$.

Ví dụ 3

$\log_3(2x - 1) < 2$: điều kiện $x > \dfrac{1}{2}$; $2x - 1 < 9 \Leftrightarrow x < 5$. Nghiệm $\dfrac{1}{2} < x < 5$.

Ví dụ 4

$\log_2(x - 1) > \log_2(3 - x)$: điều kiện $1 < x < 3$; $x - 1 > 3 - x \Leftrightarrow x > 2$. Nghiệm $2 < x < 3$.

Các bước giải

Đặt điều kiện: mọi biểu thức dưới dấu lôgarit dương.
Đưa về cùng cơ số và so sánh theo quy tắc cơ số (đổi chiều nếu $0 < a < 1$).
Giao nghiệm với điều kiện để kết luận.

Xem bài: Bài tập tổng hợp hàm số mũ và lôgarit

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Giải $\log_3(x - 2) > 1$.
Giải $\log_{\frac{1}{3}}(x + 2) \geq -2$.
Giải $\log_2(2x + 1) \leq 3$.
Giải $\log_5(x + 1) > \log_5(2x - 3)$.
Giải $\lg(x^2 - 1) < 1$.

Đáp án

$x - 2 > 3 \Leftrightarrow x > 5$.
Điều kiện $x > -2$; $x + 2 \leq 9 \Leftrightarrow x \leq 7$. Nghiệm $-2 < x \leq 7$.
Điều kiện $x > -\dfrac{1}{2}$; $2x + 1 \leq 8 \Leftrightarrow x \leq \dfrac{7}{2}$. Nghiệm $-\dfrac{1}{2} < x \leq \dfrac{7}{2}$.
Điều kiện $x > \dfrac{3}{2}$; $x + 1 > 2x - 3 \Leftrightarrow x < 4$. Nghiệm $\dfrac{3}{2} < x < 4$.
Điều kiện $|x| > 1$; $x^2 - 1 < 10 \Leftrightarrow |x| < \sqrt{11}$. Nghiệm $-\sqrt{11} < x < -1$ hoặc $1 < x < \sqrt{11}$.