Hàm số lôgarit: định nghĩa, tập xác định, tính chất, đồ thị y = logₐ x và bài tập có đáp án Toán 11
Hàm số lôgarit y = logₐ x với a dương khác 1 có tập xác định (0; +∞), tập giá trị R. Đồng biến khi a lớn hơn 1, nghịch biến khi a nằm giữa 0 và 1, đồ thị đi qua (1; 0) với tiệm cận đứng x = 0. Cách tìm tập xác định, ví dụ và bài tập có đáp án.
Hàm số lôgarit là gì?
Hàm số lôgarit là hàm số có dạng $y = \log_a x$ với $a > 0$ và $a \neq 1$. Đây là hàm số ngược của hàm số mũ $y = a^x$ nên đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$. Tập xác định là $(0; +\infty)$, tập giá trị là $\mathbb{R}$.
Tính chất
| Tính chất | $a > 1$ | $0 < a < 1$ |
|---|---|---|
| Chiều biến thiên | Đồng biến trên $(0; +\infty)$ | Nghịch biến trên $(0; +\infty)$ |
| Giới hạn | $\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty$ | $\lim_{x \to 0^+} \log_a x = +\infty$ |
| Điểm đặc biệt | Qua $(1; 0)$, $(a; 1)$ | Qua $(1; 0)$, $(a; 1)$ |
| Tiệm cận đứng | $x = 0$ | $x = 0$ |
Tìm tập xác định
Ví dụ 1
$y = \log_2(x - 3)$: điều kiện $x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3$. Tập xác định $(3; +\infty)$.
Ví dụ 2
$y = \lg(x^2 - 1)$: $x^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow x < -1$ hoặc $x > 1$. Tập xác định $(-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.
Ví dụ 3
$y = \log_3 \dfrac{x + 1}{x - 2}$: $\dfrac{x + 1}{x - 2} > 0 \Leftrightarrow x < -1$ hoặc $x > 2$.
So sánh và đồ thị
Ví dụ
So sánh $\log_2 5$ và $\log_2 7$: cơ số $2 > 1$ và $5 < 7$ nên $\log_2 5 < \log_2 7$.
So sánh $\log_{\frac{1}{3}} 2$ và $\log_{\frac{1}{3}} 5$: cơ số $< 1$ và $2 < 5$ nên $\log_{\frac{1}{3}} 2 > \log_{\frac{1}{3}} 5$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm tập xác định của $y = \log_5(2x - 4)$.
- Tìm tập xác định của $y = \ln(x^2 - 4x + 3)$.
- So sánh $\log_3 4$ và $\log_3 5$.
- Đồ thị $y = \log_2 x$ cắt trục hoành tại điểm nào?
- Hàm $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ đồng biến hay nghịch biến?
Đáp án
- $2x - 4 > 0 \Leftrightarrow x > 2$: $(2; +\infty)$.
- $x^2 - 4x + 3 > 0 \Leftrightarrow x < 1$ hoặc $x > 3$.
- $\log_3 4 < \log_3 5$.
- $(1; 0)$.
- Nghịch biến.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Phương trình mũ
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Hàm số lôgarit là gì?
Là hàm số $y = \log_a x$ với $a > 0$, $a \neq 1$.
Tập xác định của hàm lôgarit?
$(0; +\infty)$.
Quan hệ với hàm số mũ?
Là hàm ngược của $y = a^x$.
Khi nào hàm lôgarit đồng biến?
Khi $a > 1$.