Hàm số mũ: định nghĩa, tính chất, đồ thị y = aˣ, sự đồng biến nghịch biến và bài tập có đáp án Toán 11
Hàm số mũ y = aˣ với a dương khác 1 có tập xác định R, tập giá trị (0; +∞). Đồng biến khi a lớn hơn 1, nghịch biến khi a nằm giữa 0 và 1, đồ thị đi qua (0; 1) với tiệm cận ngang y = 0. Ví dụ, so sánh và bài tập có đáp án.
Hàm số mũ là gì?
Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = a^x$ với $a > 0$ và $a \neq 1$. Tập xác định là $\mathbb{R}$, tập giá trị là $(0; +\infty)$ (luôn dương). Đồ thị luôn đi qua điểm $(0; 1)$ và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.
Tính chất
| Tính chất | $a > 1$ | $0 < a < 1$ |
|---|---|---|
| Chiều biến thiên | Đồng biến trên $\mathbb{R}$ | Nghịch biến trên $\mathbb{R}$ |
| Giới hạn | $\lim_{x \to -\infty} a^x = 0$, $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$ | $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$, $\lim_{x \to +\infty} a^x = 0$ |
| Điểm đặc biệt | Qua $(0; 1)$, $(1; a)$ | Qua $(0; 1)$, $(1; a)$ |
| Tiệm cận ngang | $y = 0$ | $y = 0$ |
Xem bài: Đổi cơ số của lôgarit
Ví dụ
Ví dụ 1: so sánh
$2^{\sqrt{3}}$ và $2^{1{,}7}$: cơ số $2 > 1$, $\sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1{,}7$ nên $2^{\sqrt{3}} > 2^{1{,}7}$.
Ví dụ 2
$\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ nghịch biến vì cơ số trong $(0; 1)$.
Ví dụ 3: tìm tập xác định
$y = 3^{\sqrt{x - 1}}$ xác định khi $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$.
Hàm mũ xác định với mọi mũ thực nên chỉ cần mũ có nghĩa.
Ví dụ 4: tập giá trị
$y = 2^x + 1$ có tập giá trị $(1; +\infty)$ vì $2^x > 0$.
Ứng dụng
Hàm số mũ mô tả sự tăng trưởng và suy giảm như lãi kép, dân số, phân rã phóng xạ. Hàm $y = e^x$ với $e \approx 2{,}718$ là hàm số mũ cơ số $e$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hàm số $y = \left(\dfrac{2}{3}\right)^x$ đồng biến hay nghịch biến?
- So sánh $5^{-2}$ và $5^{-3}$.
- Tìm tập giá trị của $y = 3^x - 2$.
- Đồ thị $y = 4^x$ cắt trục tung tại điểm nào?
- So sánh $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0{,}3}$ và $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0{,}5}$.
Đáp án
- Nghịch biến.
- $-2 > -3$ và cơ số $5 > 1$ nên $5^{-2} > 5^{-3}$.
- $(-2; +\infty)$.
- $(0; 1)$.
- $0{,}3 < 0{,}5$ và cơ số $< 1$ nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{0{,}3} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{0{,}5}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Đổi cơ số của lôgarit
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Hàm số mũ là gì?
Là hàm số $y = a^x$ với $a > 0$, $a \neq 1$.
Tập xác định và tập giá trị của hàm mũ?
Tập xác định $\mathbb{R}$, tập giá trị $(0; +\infty)$.
Khi nào hàm mũ đồng biến?
Khi $a > 1$.
Đồ thị hàm mũ có tiệm cận không?
Có, tiệm cận ngang $y = 0$.