Đổi cơ số của lôgarit: công thức, hệ quả, cách biểu diễn theo lôgarit cho trước và bài tập có đáp án
Đổi cơ số của lôgarit: logₐ b = log_c b / log_c a với a, c dương khác 1 và b dương. Các hệ quả logₐ b = 1/log_b a và log_(aᵅ) b = (1/α)·logₐ b, ví dụ biểu diễn theo lôgarit cho trước, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Công thức đổi cơ số của lôgarit
Đổi cơ số của lôgarit cho phép chuyển một lôgarit về cơ số khác thuận tiện hơn: với $a, c > 0$ khác $1$ và $b > 0$ thì $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$. Công thức này đặc biệt hữu ích khi tính bằng máy tính chỉ có $\lg$ và $\ln$, hoặc khi cần đưa nhiều lôgarit về cùng một cơ số.
Công thức và hệ quả
- $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ (với $b \neq 1$).
- $\log_{a^\alpha} b = \dfrac{1}{\alpha}\log_a b$ ($\alpha \neq 0$).
- $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
Xem bài: Các tính chất của lôgarit
Ví dụ
Ví dụ 1
$\log_4 8 = \dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$; $\log_9 27 = \dfrac{3}{2}$.
Ví dụ 2
$\log_2 3 \cdot \log_3 4 = \log_2 4 = 2$.
Ví dụ 3: dùng hệ quả
$\log_{25} 5 = \log_{5^2} 5 = \dfrac{1}{2}$; $\log_8 16 = \log_{2^3} 2^4 = \dfrac{4}{3}$.
Ví dụ 4: biểu diễn
Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_{12} 18$.
$\log_{12} 18 = \dfrac{\log_2 18}{\log_2 12} = \dfrac{1 + 2a}{2 + a}$.
Đưa về cùng cơ số $2$ rồi dùng tính chất tích, lũy thừa.
Khi nào đổi cơ số
Đổi cơ số khi hai lôgarit khác cơ số xuất hiện cùng nhau, khi cần so sánh, hoặc khi giải phương trình lôgarit có nhiều cơ số khác nhau.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\log_8 32$.
- Tính $\log_3 5 \cdot \log_5 9$.
- Tính $\log_{\frac{1}{2}} 8$.
- Cho $\log_2 5 = a$. Tính $\log_{10} 5$ theo $a$.
- Tính $\dfrac{1}{\log_2 6} + \dfrac{1}{\log_3 6}$.
Đáp án
- $\dfrac{5}{3}$.
- $\log_3 9 = 2$.
- $\log_{2^{-1}} 2^3 = \dfrac{3}{-1} = -3$.
- $\log_{10} 5 = \dfrac{\log_2 5}{\log_2 10} = \dfrac{a}{1 + a}$.
- $\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Các tính chất của lôgarit
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Công thức đổi cơ số của lôgarit?
$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$.
Hệ quả $\log_a b$ và $\log_b a$?
Là hai số nghịch đảo của nhau.
Khi nào đổi cơ số?
Khi có nhiều cơ số khác nhau hoặc dùng máy tính chỉ có lg, ln.
$\log_{a^\alpha} b$ bằng gì?
$\dfrac{1}{\alpha}\log_a b$.