Các tính chất của lôgarit: lôgarit của tích, thương, lũy thừa và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Các tính chất của lôgarit gồm lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit, lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit, lôgarit của lũy thừa. Công thức, điều kiện áp dụng, ví dụ rút gọn biểu thức, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Các tính chất của lôgarit
Các tính chất của lôgarit giúp biến phép nhân, chia, lũy thừa thành phép cộng, trừ, nhân. Với $a > 0$, $a \neq 1$ và $b, c > 0$: lôgarit của một tích bằng tổng các lôgarit, lôgarit của một thương bằng hiệu các lôgarit, lôgarit của một lũy thừa bằng số mũ nhân lôgarit cơ số đó.
Ba tính chất chính
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Lôgarit của một tích | $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$ |
| Lôgarit của một thương | $\log_a \dfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c$ |
| Lôgarit của lũy thừa | $\log_a b^\alpha = \alpha\log_a b$ |
| Hệ quả | $\log_a \dfrac{1}{b} = -\log_a b$; $\log_a \sqrt[n]{b} = \dfrac{1}{n}\log_a b$ |
Ví dụ
Ví dụ 1
$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{12}{3} = \log_2 4 = 2$.
Ví dụ 2
$\log_6 2 + \log_6 3 = \log_6 6 = 1$; $\lg 5 + \lg 2 = \lg 10 = 1$.
Ví dụ 3
$\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$; $\log_2 \sqrt{8} = \dfrac{1}{2}\log_2 8 = \dfrac{3}{2}$.
Ví dụ 4: biểu diễn
Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 12 = \log_2 (4 \cdot 3) = 2 + a$.
Chú ý điều kiện
Các công thức chỉ đúng khi mọi biểu thức lôgarit có nghĩa ($b, c > 0$). Với $b, c$ cùng âm, ta dùng giá trị tuyệt đối: $\log_a(bc) = \log_a|b| + \log_a|c|$.
Xem bài: Đổi cơ số của lôgarit
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\log_3 18 + \log_3 \dfrac{3}{2}$.
- Tính $\log_5 100 - \log_5 4$.
- Tính $\lg 4 + 2\lg 5$.
- Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 24$.
- Rút gọn $\log_a \dfrac{a^3}{\sqrt{a}}$ ($0 < a \neq 1$).
Đáp án
- $\log_3 27 = 3$.
- $\log_5 25 = 2$.
- $\lg 4 + \lg 25 = \lg 100 = 2$.
- $\log_2 (8 \cdot 3) = 3 + a$.
- $3 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Đổi cơ số của lôgarit
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Lôgarit của một tích bằng gì?
Tổng các lôgarit: $\log_a(bc) = \log_a b + \log_a c$.
Lôgarit của một thương bằng gì?
Hiệu các lôgarit.
Lôgarit của lũy thừa tính thế nào?
$\log_a b^\alpha = \alpha\log_a b$.
Có công thức cho lôgarit của tổng không?
Không có.