Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, cách tính từng bước, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán quanh số trung bình, tính bằng s² = (1/n)·Σ nᵢ(xᵢ − x̄)² với xᵢ là giá trị đại diện. Công thức rút gọn s² = (1/n)Σ nᵢxᵢ² − x̄², ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12.

$Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, cách tính từng bước, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $s^2$, đo mức độ phân tán của số liệu quanh số trung bình $\bar{x}$. Với giá trị đại diện $x_i$ và tần số $n_i$ của từng nhóm, $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2$, trong đó $n = \sum n_i$ và $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum n_i x_i$.

Công thức và các bước tính

Tìm giá trị đại diện $x_i$ (trung điểm) của từng nhóm.
Tính số trung bình $\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{n}$.
Tính $s^2 = \dfrac{\sum n_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2$ (công thức rút gọn).

Ví dụ 1 (mẫu A)

Giá trị đại diện $5; 15; 25; 35; 45$, tần số $5; 10; 15; 12; 8$, $n = 50$. $\bar{x} = \dfrac{1330}{50} = 26{,}6$. $\sum n_i x_i^2 = 125 + 2250 + 9375 + 14700 + 16200 = 42650$. $s^2 = \dfrac{42650}{50} - 26{,}6^2 = 853 - 707{,}56 = 145{,}44$.

Xem bài: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ khác

Ví dụ 2 (mẫu B)

Tần số $2; 8; 30; 8; 2$: $\bar{x} = 25$, $\sum n_i x_i^2 = 34450$, $s^2 = 689 - 625 = 64$.

Phương sai của B nhỏ hơn của A nên B ít phân tán hơn.

Ví dụ 3 (mẫu C)

Nhóm $[0; 2), [2; 4), [4; 6)$ tần số $4; 6; 10$, $n = 20$. Giá trị đại diện $1; 3; 5$. $\bar{x} = \dfrac{4 + 18 + 50}{20} = 3{,}6$. $\sum n_i x_i^2 = 4 + 54 + 250 = 308$. $s^2 = 15{,}4 - 12{,}96 = 2{,}44$.

Xem bài: Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Nhóm $[0; 4), [4; 8)$ tần số $3; 1$. Tìm giá trị đại diện và $\bar{x}$.
Tính $s^2$ cho mẫu ở câu 1.
Nhóm $[0; 10), [10; 20)$ tần số $5; 5$. Tính $\bar{x}$ và $s^2$.
Phương sai có thể âm không?
Mẫu có phương sai $9$. Phương sai của mẫu sau khi cộng $5$ vào mọi số liệu là bao nhiêu?

Đáp án

Đại diện $2; 6$. $\bar{x} = \dfrac{6 + 6}{4} = 3$.
$\sum n_i x_i^2 = 12 + 36 = 48$, $s^2 = 12 - 9 = 3$.
Đại diện $5; 15$: $\bar{x} = 10$, $\sum n_i x_i^2 = 125 + 1125 = 1250$, $s^2 = 125 - 100 = 25$.
Không, phương sai luôn $\geq 0$.
Vẫn bằng $9$.