Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức Q1, Q3, ΔQ, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là hiệu ΔQ = Q₃ − Q₁ giữa tứ phân vị thứ ba và thứ nhất. Cách tìm nhóm chứa tứ phân vị, công thức nội suy, ý nghĩa ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai, ví dụ và bài tập có đáp án.

$Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức Q1, Q3, ΔQ, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\Delta_Q$, là hiệu $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất. Nó đo độ phân tán của nửa số liệu ở giữa nên ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lai hơn khoảng biến thiên.

Công thức tứ phân vị

Tứ phân vị thứ $k$ ($k = 1, 3$) nằm trong nhóm $[u_m; u_{m+1})$ đầu tiên có tần số tích lũy $\geq \dfrac{kn}{4}$:

$$Q_k = u_m + \dfrac{\dfrac{kn}{4} - C}{n_m} \cdot (u_{m+1} - u_m)$$

trong đó $C$ là tổng tần số các nhóm đứng trước, $n_m$ là tần số của nhóm chứa $Q_k$.

Xem bài: Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ

Ví dụ 1 (mẫu A)

Tần số tích lũy: $5; 15; 30; 42; 50$ ($n = 50$). $\dfrac{n}{4} = 12{,}5$ thuộc nhóm $[10; 20)$ nên $Q_1 = 10 + \dfrac{12{,}5 - 5}{10} \cdot 10 = 17{,}5$. $\dfrac{3n}{4} = 37{,}5$ thuộc nhóm $[30; 40)$ nên $Q_3 = 30 + \dfrac{37{,}5 - 30}{12} \cdot 10 = 36{,}25$. Vậy $\Delta_Q = 36{,}25 - 17{,}5 = 18{,}75$.

Ví dụ 2 (mẫu B)

Tần số tích lũy: $2; 10; 40; 48; 50$. Cả $Q_1$ và $Q_3$ thuộc nhóm $[20; 30)$: $Q_1 = 20 + \dfrac{12{,}5 - 10}{30} \cdot 10 = \dfrac{125}{6} \approx 20{,}83$, $Q_3 = 20 + \dfrac{37{,}5 - 10}{30} \cdot 10 = \dfrac{175}{6} \approx 29{,}17$. Vậy $\Delta_Q \approx 8{,}33$.

Mẫu B có $\Delta_Q$ nhỏ hơn mẫu A nên tập trung hơn.

Xem bài: Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Mẫu có $n = 40$, tần số tích lũy $4; 14; 30; 40$ tại các nhóm $[0; 10), [10; 20), [20; 30), [30; 40)$. Tìm nhóm chứa $Q_1$.
Với mẫu ở câu 1, tính $Q_1$.
Với mẫu ở câu 1, tính $Q_3$.
Tính $\Delta_Q$ cho mẫu ở câu 1.
Vì sao $\Delta_Q$ ít nhạy với giá trị ngoại lai?

Đáp án

$\dfrac{n}{4} = 10$, tích lũy $14 \geq 10$: nhóm $[10; 20)$.
$Q_1 = 10 + \dfrac{10 - 4}{10} \cdot 10 = 16$.
$\dfrac{3n}{4} = 30$, nhóm $[20; 30)$: $Q_3 = 20 + \dfrac{30 - 14}{16} \cdot 10 = 30$.
$\Delta_Q = 30 - 16 = 14$.
Vì chỉ xét nửa số liệu ở giữa, bỏ $25\%$ nhỏ nhất và $25\%$ lớn nhất.