Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực: căn bậc n, tính chất, so sánh và bài tập có đáp án Toán 11
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực: a^(m/n) = ⁿ√(aᵐ) với a dương, căn bậc n, mở rộng cho số mũ vô tỉ, các tính chất giữ nguyên, so sánh hai lũy thừa cùng cơ số, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực mở rộng lũy thừa cho các số mũ không nguyên. Với $a > 0$ và $r = \dfrac{m}{n}$ ($m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}^*$), $a^r = a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. Với số mũ vô tỉ, $a^\alpha$ là giới hạn của $a^{r_n}$ khi $r_n \to \alpha$.
Căn bậc n và số mũ hữu tỉ
Ví dụ
$8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{8^2} = 4$; $27^{-\frac{1}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{27}} = \dfrac{1}{3}$; $16^{\frac{3}{4}} = 8$; $9^{\frac{1}{2}} = 3$.
Xem bài: Lũy thừa với số mũ nguyên
Tính chất của lũy thừa với số mũ thực
Với $a, b > 0$ và $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, các tính chất của số mũ nguyên vẫn đúng: $a^\alpha a^\beta = a^{\alpha + \beta}$, $\dfrac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha - \beta}$, $(a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}$, $(ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha$.
Ví dụ
$2^{\sqrt{2}} \cdot 2^{-\sqrt{2}} = 2^0 = 1$; $\left(3^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 3^2 = 9$.
So sánh lũy thừa cùng cơ số
- $a > 1$: $a^\alpha < a^\beta \Leftrightarrow \alpha < \beta$.
- $0 < a < 1$: $a^\alpha < a^\beta \Leftrightarrow \alpha > \beta$.
Ví dụ
So sánh $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}}$ và $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$: cơ số $\dfrac{1}{2} < 1$ và $\sqrt{3} > \sqrt{2}$ nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{3}} < \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\sqrt{2}}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $125^{\frac{2}{3}}$ và $4^{-\frac{3}{2}}$.
- Rút gọn $\dfrac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{3}{2}}}{a}$ với $a > 0$.
- Tính $\left(2^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}$.
- So sánh $3^{\sqrt{5}}$ và $3^2$.
- So sánh $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\sqrt{2}}$ và $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{1{,}5}$.
Đáp án
- $125^{\frac{2}{3}} = 25$; $4^{-\frac{3}{2}} = \dfrac{1}{8}$.
- $a^{2 - 1} = a$.
- $2^3 = 8$.
- $\sqrt{5} > 2$ và cơ số $3 > 1$ nên $3^{\sqrt{5}} > 3^2$.
- $\sqrt{2} < 1{,}5$ và cơ số $< 1$ nên $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\sqrt{2}} > \left(\dfrac{2}{3}\right)^{1{,}5}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Lũy thừa với số mũ nguyên
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Lũy thừa số mũ hữu tỉ định nghĩa thế nào?
$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$ với $a > 0$.
Cơ số có thể âm không?
Không, với số mũ không nguyên cơ số phải dương.
So sánh $a^\alpha$ và $a^\beta$ thế nào?
Dựa vào cơ số: $a > 1$ cùng chiều, $0 < a < 1$ ngược chiều.
Các tính chất có còn đúng không?
Có, các tính chất của số mũ nguyên vẫn đúng.