Lũy thừa với số mũ nguyên: định nghĩa, tính chất, quy tắc tính và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Lũy thừa với số mũ nguyên: aⁿ là tích của n thừa số a, a⁰ = 1 và a⁻ⁿ = 1/aⁿ với a khác 0. Các tính chất aᵐ·aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ, (ab)ⁿ = aⁿbⁿ, ví dụ rút gọn biểu thức, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 11.
Lũy thừa với số mũ nguyên
Lũy thừa với số mũ nguyên mở rộng khái niệm lũy thừa với số mũ tự nhiên. Với $n$ nguyên dương, $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ thừa số}}$; với $a \neq 0$ định nghĩa thêm $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$. Số $a$ gọi là cơ số, $n$ gọi là số mũ.
Định nghĩa
| Số mũ | Định nghĩa | Ví dụ |
|---|---|---|
| $n \in \mathbb{N}^*$ | $a^n = a \cdot a \cdots a$ | $2^3 = 8$ |
| $0$ | $a^0 = 1$ ($a \neq 0$) | $5^0 = 1$ |
| $-n$ | $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ ($a \neq 0$) | $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ |
Cơ số $0$ chỉ có lũy thừa với số mũ nguyên dương; $0^0$ và $0^{-n}$ không có nghĩa.
Tính chất
Ví dụ 1
$2^5 \cdot 2^{-3} = 2^2 = 4$; $\dfrac{3^6}{3^4} = 3^2 = 9$; $(2^3)^2 = 2^6 = 64$.
Ví dụ 2: rút gọn
$\dfrac{(a^2 b^{-1})^3}{a^4 b^{-2}} = \dfrac{a^6 b^{-3}}{a^4 b^{-2}} = a^{2} b^{-1} = \dfrac{a^2}{b}$.
Xem bài: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực
So sánh lũy thừa
- Với $a > 1$: $a^m > a^n \Leftrightarrow m > n$.
- Với $0 < a < 1$: $a^m > a^n \Leftrightarrow m < n$.
- Với $n$ nguyên dương và $0 < a < b$: $a^n < b^n$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $2^{-4}$ và $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}$.
- Rút gọn $\dfrac{a^5 \cdot a^{-2}}{a^{-1}}$.
- Tính $(3^2)^{-1} \cdot 3^3$.
- So sánh $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}$ và $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$.
- Rút gọn $(2x^{-1}y)^3$.
Đáp án
- $\dfrac{1}{16}$; $\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$.
- $a^{5 - 2 + 1} = a^4$.
- $3^{-2} \cdot 3^3 = 3$.
- $8 > 4$ nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}$.
- $8x^{-3}y^3 = \dfrac{8y^3}{x^3}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số mũ thực
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Câu hỏi thường gặp
Lũy thừa với số mũ nguyên là gì?
Là $a^n$ với $n \in \mathbb{Z}$: tích $n$ thừa số $a$, $a^0 = 1$ và $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
$a^0$ bằng bao nhiêu?
$1$ với $a \neq 0$.
Quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số?
Giữ cơ số, cộng số mũ.
$a^{-n}$ bằng gì?
$\dfrac{1}{a^n}$.