Hàm số đồng biến và nghịch biến: định nghĩa, cách xét, bảng biến thiên và bài tập có đáp án
Hàm số đồng biến và nghịch biến mô tả hàm số tăng hay giảm trên một khoảng. Định nghĩa, cách xét bằng định nghĩa, bảng biến thiên, dấu hiệu nhận biết trên đồ thị, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.
Hàm số đồng biến và nghịch biến là gì?
Hàm số đồng biến và nghịch biến mô tả hàm số đi lên hay đi xuống trên một khoảng. Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên khoảng $(a; b)$ khi $x$ tăng thì $f(x)$ tăng; nghịch biến khi $x$ tăng thì $f(x)$ giảm.
Định nghĩa
Ví dụ
$y = 2x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y = -x + 3$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
$y = x^2$ nghịch biến trên $(-\infty; 0)$ và đồng biến trên $(0; +\infty)$.
Cách xét bằng tỉ số
Với $x_1 \neq x_2$ trong khoảng đang xét, lập tỉ số $T = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$. Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến; nếu $T < 0$ thì nghịch biến.
Ví dụ
$f(x) = x^2$ trên $(0; +\infty)$: $T = \dfrac{x_2^2 - x_1^2}{x_2 - x_1} = x_1 + x_2 > 0$ nên hàm số đồng biến.
Bảng biến thiên và đồ thị
Trên đồ thị, hàm số đồng biến khi đồ thị đi lên (từ trái sang phải), nghịch biến khi đồ thị đi xuống. Bảng biến thiên dùng mũi tên $\nearrow$ cho đồng biến và $\searrow$ cho nghịch biến.
| Khoảng | $(-\infty; 0)$ | $(0; +\infty)$ |
|---|---|---|
| $y = x^2$ | Nghịch biến ($\searrow$) | Đồng biến ($\nearrow$) |
Xem bài: Hàm số chẵn và hàm số lẻ
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Xét tính đồng biến, nghịch biến của $y = 3x - 2$ trên $\mathbb{R}$.
- Xét $y = -2x + 5$ trên $\mathbb{R}$.
- Chứng minh $y = x^2$ nghịch biến trên $(-\infty; 0)$.
- Hàm số $y = \dfrac{1}{x}$ nghịch biến trên $(0; +\infty)$ đúng hay sai? Giải thích.
- Đồ thị đi lên từ trái sang phải trên $(1; 4)$ thì hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Đáp án
- $T = \dfrac{3x_2 - 3x_1}{x_2 - x_1} = 3 > 0$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- $T = -2 < 0$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
- $T = x_1 + x_2 < 0$ khi $x_1, x_2 < 0$ nên nghịch biến.
- Đúng: $T = \dfrac{\frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1}}{x_2 - x_1} = \dfrac{-1}{x_1 x_2} < 0$ với $x_1, x_2 > 0$.
- Hàm số đồng biến trên $(1; 4)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Hàm số chẵn và hàm số lẻ
Xem tất cả bài học chủ điểm Hàm số bậc hai
Câu hỏi thường gặp
Hàm số đồng biến là gì?
Là hàm số mà $x$ tăng thì $f(x)$ tăng trên khoảng đang xét.
Hàm số nghịch biến là gì?
Là hàm số mà $x$ tăng thì $f(x)$ giảm trên khoảng đang xét.
Làm sao xét tính đơn điệu bằng định nghĩa?
Lập tỉ số $\dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$ và xét dấu.
Một hàm số có thể vừa đồng biến vừa nghịch biến không?
Trên các khoảng khác nhau thì có, như $y = x^2$; trên cùng một khoảng thì không.