Giao tuyến của hai mặt phẳng: cách tìm, hai điểm chung, ví dụ hình chóp và bài tập có đáp án Toán 11

Giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng chung của chúng. Cách tìm giao tuyến bằng hai điểm chung, dùng giao điểm của hai đường thẳng nằm trong hai mặt phẳng, ví dụ trên hình chóp S.ABCD và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

$Giao tuyến của hai mặt phẳng: cách tìm, hai điểm chung, ví dụ hình chóp và bài tập có đáp án Toán 11$

Giao tuyến của hai mặt phẳng

Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt $(P)$ và $(Q)$ có điểm chung là đường thẳng $d$ gồm tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng, kí hiệu $(P) \cap (Q) = d$. Để tìm giao tuyến chỉ cần tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.

Phương pháp tìm giao tuyến

Tìm điểm chung thứ nhất $M$ của $(P)$ và $(Q)$ (thường nhìn thấy sẵn).
Tìm điểm chung thứ hai $N$: lấy hai đường thẳng $a \subset (P)$, $b \subset (Q)$ cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba và cắt nhau tại $N$; khi đó $N$ là điểm chung.
Kết luận $(P) \cap (Q) = MN$.

Xem bài: Hình chóp và hình tứ diện

Ví dụ trên hình chóp S.ABCD

Ví dụ 1

Đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Tìm $(SAC) \cap (SBD)$.
$S$ là điểm chung. Vì $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O$ cũng là điểm chung.
Vậy $(SAC) \cap (SBD) = SO$.

Ví dụ 2

Đáy $ABCD$ là hình thang với $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$. Tìm $(SAB) \cap (SCD)$.
$S$ là điểm chung; $E \in AB \subset (SAB)$ và $E \in CD \subset (SCD)$ nên $E$ là điểm chung.
Vậy $(SAB) \cap (SCD) = SE$.

Giao tuyến với mặt đáy

Giao tuyến của mặt bên và mặt đáy là chính cạnh đáy tương ứng, ví dụ $(SAB) \cap (ABCD) = AB$.

Xem bài: Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành tâm $O$. Tìm $(SAB) \cap (SAC)$.
Tìm $(SAB) \cap (ABCD)$.
Cho tứ diện $ABCD$, $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $AC$. Tìm $(MND) \cap (ABC)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình thang $AB \parallel CD$. Hai mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ có cắt nhau không?
Hai mặt phẳng có thể có đúng một điểm chung không?

Đáp án

$SA$ (điểm chung $S$ và $A$).
$AB$.
$M, N$ cùng thuộc cả hai mặt phẳng nên giao tuyến là $MN$.
Có, nếu $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $E$ thì giao tuyến là $SE$; nếu $AD \parallel BC$ thì giao tuyến là đường thẳng qua $S$ song song $AD$.
Không, nếu có một điểm chung thì có cả một đường thẳng chung.