Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: cách tìm, dựng đường thẳng phụ và bài tập có đáp án Toán 11

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là điểm chung duy nhất của chúng. Cách tìm giao điểm bằng đường thẳng phụ nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng, ví dụ trên hình chóp S.ABCD, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

$Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: cách tìm, dựng đường thẳng phụ và bài tập có đáp án Toán 11$

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng (khi đường thẳng $d$ không nằm trong mặt phẳng $(P)$) là điểm chung duy nhất của chúng, kí hiệu $d \cap (P) = M$. Phương pháp chung để tìm giao điểm là chọn một mặt phẳng phụ chứa $d$, tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với $(P)$, rồi lấy giao điểm của $d$ với giao tuyến đó.

Phương pháp tìm giao điểm

Chọn mặt phẳng phụ $(Q)$ chứa đường thẳng $d$ (dễ xác định giao tuyến với $(P)$).
Tìm giao tuyến $a = (Q) \cap (P)$.
Giao điểm cần tìm là $M = d \cap a$ (hai đường thẳng cùng nằm trong $(Q)$).

Xem bài: Giao tuyến của hai mặt phẳng

Ví dụ

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, $M$ là trung điểm $SC$. Tìm giao điểm $I$ của $SO$ với mặt phẳng $(ABM)$ (kí hiệu mặt phẳng chứa $A, B, M$).
Chọn mặt phẳng phụ $(SAC)$ chứa $SO$. Giao tuyến của $(SAC)$ và $(ABM)$ là $AM$ (hai điểm chung $A$, $M$).
Trong $(SAC)$, $SO$ cắt $AM$ tại $I$. Vậy $I = SO \cap (ABM)$.

Chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng và một điểm của mặt phẳng cần cắt.

Xem bài: Hai đường thẳng song song trong không gian

Trường hợp đặc biệt

Nếu $d$ song song với một đường thẳng trong $(P)$ thì $d \parallel (P)$ hoặc $d \subset (P)$ — không có giao điểm duy nhất.
Nếu $d$ cắt một đường thẳng $a \subset (P)$ tại $M$ thì $M$ là giao điểm của $d$ và $(P)$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Cho tứ diện $ABCD$, $M$ trên $AB$, $N$ trên $AC$ ($MN$ không song song $BC$). Tìm giao điểm của $MN$ với $(BCD)$.
Cho hình chóp $S.ABCD$, tìm giao điểm của $SC$ với $(ABD)$ khi $AC \cap BD = O$ và $SC$ nằm trong $(SAC)$.
Đường thẳng $d$ có hai điểm chung với $(P)$. Quan hệ của $d$ và $(P)$?
Đường thẳng $d \cap (P) = M$. Có thể có thêm điểm chung nào nữa không?
Nêu mặt phẳng phụ khi tìm $SD \cap (MNP)$ với $M, N, P$ nằm trên các cạnh đáy.

Đáp án

Mặt phẳng phụ $(ABC)$ chứa $MN$; giao tuyến của $(ABC)$ và $(BCD)$ là $BC$; giao điểm là $MN \cap BC$.
Mặt phẳng phụ $(SAC)$; giao tuyến của $(SAC)$ và $(ABD)$ là $AO$; giao điểm là $SC \cap AO$ (nằm trong $(SAC)$).
$d \subset (P)$ (đường thẳng nằm trong mặt phẳng).
Không, giao điểm là duy nhất.
Mặt phẳng phụ là $(SBD)$ hoặc mặt phẳng chứa $SD$ và một điểm đáy thích hợp.