Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác: phương pháp và bài tập
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by trên miền đa giác đạt tại một đỉnh của đa giác. Phương pháp giải ba bước, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F(x; y)
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức $F(x; y) = ax + by$ khi $(x; y)$ thuộc một miền đa giác (miền nghiệm của hệ bất phương trình) luôn đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác. Nhờ vậy ta chỉ cần tính $F$ tại các đỉnh rồi so sánh.
Nội dung kết quả
Xem bài: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình
Phương pháp giải
- Xác định miền nghiệm của hệ (miền đa giác).
- Tìm tọa độ các đỉnh của đa giác.
- Tính giá trị của $F$ tại mỗi đỉnh rồi chọn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ví dụ có lời giải
Đề bài
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $F = 3x + 2y$ trên miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 4 \end{cases}$.
Lời giải
Miền nghiệm là tam giác $O(0; 0)$, $A(4; 0)$, $B(0; 4)$.
$F(O) = 0$, $F(A) = 12$, $F(B) = 8$.
Vậy $F$ lớn nhất bằng $12$ tại $A(4; 0)$ và nhỏ nhất bằng $0$ tại $O(0; 0)$.
Chỉ cần tính $F$ tại ba đỉnh.
Ví dụ khác
$F = x - 2y$ trên hình vuông đỉnh $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(2; 2)$, $(0; 2)$:
$F = 0, 2, -2, -4$.
Max $= 2$ tại $(2; 0)$, min $= -4$ tại $(0; 2)$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tìm giá trị lớn nhất của $F = x + y$ trên miền $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + 2y \leq 6 \\ 2x + y \leq 6 \end{cases}$ (đỉnh $O$, $(3; 0)$, $(2; 2)$, $(0; 3)$).
- Tìm giá trị nhỏ nhất của $F = 2x + 3y$ trên tam giác có đỉnh $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(0; 2)$.
- Tìm max và min của $F = 5x - y$ trên tam giác đỉnh $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(0; 3)$.
- Tìm max của $F = 2x + y$ trên hình vuông đỉnh $(0; 0)$, $(1; 0)$, $(1; 1)$, $(0; 1)$.
- Có nhất thiết phải vẽ hình khi tìm max, min của $F$ không?
Đáp án
- $F(O) = 0$, $F(3; 0) = 3$, $F(2; 2) = 4$, $F(0; 3) = 3$. Max $= 4$ tại $(2; 2)$.
- $F = 0, 8, 6$ nên min $= 0$ tại $(0; 0)$.
- $F = 0, 10, -3$ nên max $= 10$ tại $(2; 0)$, min $= -3$ tại $(0; 3)$.
- $F = 0, 2, 3, 1$ nên max $= 3$ tại $(1; 1)$.
- Nên vẽ để tìm đúng đỉnh của miền, nhưng có thể tìm đỉnh bằng cách giải hệ phương trình.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Bài tiếp theo: Bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Xem tất cả bài học chủ điểm Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Câu hỏi thường gặp
Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $ax + by$ đạt ở đâu?
Tại một đỉnh của miền đa giác bị chặn.
Có cần thử mọi điểm trong miền không?
Không, chỉ cần thử các đỉnh.
Nếu hai đỉnh cho cùng giá trị lớn nhất thì sao?
Khi đó $F$ đạt max tại mọi điểm trên cạnh nối hai đỉnh đó.
Bài toán này dùng để làm gì?
Giải các bài toán tối ưu thực tế như lãi lớn nhất, chi phí nhỏ nhất.