Bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: cách lập hệ, ví dụ và bài tập

Bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường hỏi lợi nhuận lớn nhất hoặc chi phí nhỏ nhất. Các bước lập hệ, ví dụ sản xuất có lời giải, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.

$Bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: cách lập hệ, ví dụ và bài tập$

Bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài toán thực tế về hệ bất phương trình thường có dạng: với các ràng buộc về nguyên liệu, thời gian, nhân công, hãy chọn số lượng sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất hoặc chi phí nhỏ nhất. Bài toán được giải bằng cách lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn rồi tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên miền nghiệm.

Các bước giải

Đặt ẩn $x$, $y$ (số lượng cần tìm) và điều kiện $x \geq 0$, $y \geq 0$.
Lập hệ bất phương trình từ các ràng buộc của đề bài.
Lập biểu thức $F(x; y)$ cần tối ưu (lợi nhuận, chi phí).
Vẽ miền nghiệm, tìm các đỉnh, tính $F$ tại các đỉnh.
Kết luận, chú ý nếu $x$, $y$ phải là số nguyên.

Xem bài: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức trên miền đa giác

Ví dụ: bài toán sản xuất

Đề bài

Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm $A$ và $B$. Mỗi sản phẩm $A$ cần $2$ giờ máy, lãi $3$ triệu đồng; mỗi sản phẩm $B$ cần $1$ giờ máy, lãi $2$ triệu đồng. Máy chạy tối đa $8$ giờ, số sản phẩm $A$ không quá $3$. Tìm số sản phẩm mỗi loại để lãi lớn nhất.

Lời giải

Gọi $x$, $y$ là số sản phẩm $A$, $B$. Hệ: $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x \leq 3$, $2x + y \leq 8$.
Lãi: $F = 3x + 2y$ (triệu đồng).
Miền nghiệm là tứ giác đỉnh $(0; 0)$, $(3; 0)$, $(3; 2)$, $(0; 8)$.
$F = 0, 9, 13, 16$.
Vậy lãi lớn nhất là $16$ triệu đồng khi $x = 0$, $y = 8$.

Đỉnh $(0; 8)$ có tọa độ nguyên nên thỏa yêu cầu số sản phẩm.

Lưu ý khi tọa độ đỉnh không nguyên

Nếu số lượng phải là số nguyên mà đỉnh tối ưu không nguyên thì phải xét các điểm nguyên nằm trong miền nghiệm gần đỉnh đó để tìm giá trị tốt nhất.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Một nông dân trồng hai loại cây trên $6$ ha: cây $A$ lãi $4$ triệu/ha, cây $B$ lãi $3$ triệu/ha, tổng diện tích không quá $6$ ha, cây $A$ không quá $4$ ha. Tìm phương án lãi lớn nhất.
Lập hệ bất phương trình: số xe loại $x$ và $y$ cần chở tối thiểu $20$ tấn, xe loại $x$ chở $4$ tấn, loại $y$ chở $2$ tấn, tổng số xe không quá $8$.
Tìm $F = 2x + y$ nhỏ nhất trên miền $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x + y \geq 2$ tại các đỉnh $(2; 0)$ và $(0; 2)$.
Một cửa hàng bán hai loại bánh với lãi lần lượt $2$ nghìn và $3$ nghìn đồng/cái. Hãy viết biểu thức lãi $F$.
Vì sao phải đặt điều kiện $x \geq 0$, $y \geq 0$?

Đáp án

Hệ: $x, y \geq 0$, $x \leq 4$, $x + y \leq 6$; $F = 4x + 3y$; đỉnh $(0; 0)$, $(4; 0)$, $(4; 2)$, $(0; 6)$; $F = 0, 16, 22, 18$. Lãi lớn nhất $22$ triệu khi $x = 4$, $y = 2$.
$4x + 2y \geq 20$, $x + y \leq 8$, $x \geq 0$, $y \geq 0$.
$F(2; 0) = 4$ và $F(0; 2) = 2$ nên min $= 2$ tại $(0; 2)$.
$F = 2x + 3y$ (nghìn đồng), với $x$, $y$ là số bánh mỗi loại.
Vì số lượng sản phẩm hay diện tích không thể âm.