Biến cố độc lập: định nghĩa, điều kiện P(AB) = P(A)·P(B), cách nhận biết và bài tập có đáp án Toán 11

Hai biến cố độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Điều kiện P(AB) = P(A)·P(B), tính chất khi A, B độc lập thì A và B̄ cũng độc lập, ví dụ hai xạ thủ và bài tập có đáp án.

$Biến cố độc lập: định nghĩa, điều kiện P(AB) = P(A)·P(B), cách nhận biết và bài tập có đáp án Toán 11$

Biến cố độc lập là gì?

Biến cố độc lập: hai biến cố $A$ và $B$ gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia. Điều kiện toán học để hai biến cố độc lập là $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Định nghĩa và tính chất

Nếu $A$ và $B$ độc lập thì $A$ và $\overline{B}$, $\overline{A}$ và $B$, $\overline{A}$ và $\overline{B}$ cũng độc lập.
Hai phép thử riêng rẽ (tung hai đồng xu, hai xạ thủ bắn riêng) cho các biến cố độc lập.

Xem bài: Biến cố hợp và biến cố giao

Phân biệt độc lập và xung khắc

Tiêu chí	Xung khắc	Độc lập
Điều kiện	$A \cap B = \emptyset$	$P(AB) = P(A)P(B)$
Cùng xảy ra	Không thể	Có thể
Hệ quả	$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	$P(AB) = P(A)P(B)$

Ví dụ

Ví dụ 1

Tung hai đồng xu. $A$: đồng xu thứ nhất sấp ($P = \dfrac{1}{2}$); $B$: đồng xu thứ hai sấp ($P = \dfrac{1}{2}$). $P(AB) = \dfrac{1}{4} = P(A)P(B)$ nên $A$, $B$ độc lập.

Ví dụ 2: hai xạ thủ

Xạ thủ $A$ bắn trúng với xác suất $0{,}8$, xạ thủ $B$ với xác suất $0{,}7$ (bắn độc lập).
$P(\text{cả hai trúng}) = 0{,}8 \cdot 0{,}7 = 0{,}56$.
$P(\text{ít nhất một trúng}) = 1 - 0{,}2 \cdot 0{,}3 = 0{,}94$.

Xem bài: Quy tắc cộng xác suất

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tung xúc xắc hai lần. $A$: lần đầu ra $6$; $B$: lần hai ra số chẵn. $A$, $B$ có độc lập không?
Hai xạ thủ bắn trúng với xác suất $0{,}6$ và $0{,}5$ (độc lập). Tính xác suất cả hai trúng.
Với dữ kiện bài 2, tính xác suất cả hai đều bắn trượt.
$P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$, $P(AB) = 0{,}2$. $A$, $B$ có độc lập không?
Hai biến cố xung khắc có xác suất khác $0$ có độc lập không?

Đáp án

Có, vì hai lần tung độc lập: $P(AB) = \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{2} = P(A)P(B)$.
$0{,}6 \cdot 0{,}5 = 0{,}3$.
$0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$.
Có, vì $0{,}5 \cdot 0{,}4 = 0{,}2 = P(AB)$.
Không.