Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian: kí hiệu, các tiên đề và bài tập có đáp án Toán 11
Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là các khái niệm cơ bản của hình học không gian, không định nghĩa mà mô tả. Cách kí hiệu, quan hệ thuộc, nằm trong, năm tiên đề liên kết, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian là ba khái niệm nguyên thủy của hình học không gian: ta không định nghĩa mà chỉ mô tả bằng hình ảnh và thừa nhận một số tiên đề. Điểm kí hiệu $A, B, M$; đường thẳng kí hiệu $a, b, d$ hay $AB$; mặt phẳng kí hiệu $(P), (Q), (\alpha)$ hay $(ABC)$.
Các quan hệ cơ bản
| Kí hiệu | Ý nghĩa |
|---|---|
| $A \in (P)$ | Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $(P)$ |
| $A \notin (P)$ | Điểm $A$ không thuộc $(P)$ |
| $a \subset (P)$ | Đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ |
| $(P) \cap (Q) = d$ | Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến $d$ |
Bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng gọi là đồng phẳng; nếu không thì gọi là không đồng phẳng.
Các tiên đề của hình học không gian
- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
- Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
- Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có chung một đường thẳng đi qua điểm đó (giao tuyến).
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả của hình học phẳng đều đúng.
Xem bài: Cách xác định mặt phẳng
Ví dụ
Ví dụ 1
Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Theo tiên đề $2$ có duy nhất mặt phẳng $(ABC)$ đi qua ba điểm đó.
Ví dụ 2
Nếu $A, B \in (P)$ và $M$ thuộc đường thẳng $AB$ thì $M \in (P)$ (tiên đề $3$).
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Bốn điểm $A, B, C, D$ trong đó $A, B, C$ không thẳng hàng và $D \in (ABC)$. Bốn điểm này đồng phẳng không?
- Hai điểm $A, B$ thuộc $(P)$. Đường thẳng $AB$ có nằm trong $(P)$ không?
- Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?
- Hai mặt phẳng phân biệt có tối đa mấy điểm chung theo tiên đề $5$ nếu chúng có điểm chung?
- Điền $\in$ hay $\subset$: $A \ldots (P)$; $AB \ldots (P)$.
Đáp án
- Có, đồng phẳng (cùng thuộc $(ABC)$).
- Có, theo tiên đề $3$.
- Có vô số mặt phẳng (mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó).
- Các điểm chung nằm trên một đường thẳng (giao tuyến), tức vô số điểm.
- $A \in (P)$; $AB \subset (P)$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Cách xác định mặt phẳng
Xem tất cả bài học chủ điểm Quan hệ song song trong không gian
Câu hỏi thường gặp
Điểm, đường thẳng và mặt phẳng được kí hiệu thế nào?
Điểm: $A, B$; đường thẳng: $a, d$ hoặc $AB$; mặt phẳng: $(P)$ hoặc $(ABC)$.
Ba điểm xác định một mặt phẳng khi nào?
Khi ba điểm không thẳng hàng.
Giao tuyến của hai mặt phẳng là gì?
Là đường thẳng chung của hai mặt phẳng cắt nhau.
Bốn điểm đồng phẳng là gì?
Là bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng.